[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.33).Wtym celu założymy, że siły są równoległe do osi z prostokątnego układuwspółrzędnych x, y, z.W tej sytuacji rzuty wszystkich sił na osie x i y będątożsamościowo równe zeru.Analogicznie momenty wszystkich sił względem osi z,jako osi równoległej do wszystkich sił, będą również równe zeru.Wówczas sześćrównań równowagi upraszcza się do trzech, tzn.równania rzutów na oś z orazrównań momentów względem osi x i y:nnnP = 0,M= ,M∑∑∑= 0.(3.56)kzkxkyk=1k=1k=1Z otrzymanych równań równowagi wynika, że zagadnienie dotyczącerównowagi przestrzennego układu sił równoległych będzie statycznie wyznaczalne,jeżeli będą w nim trzy niewiadome.W przypadku układu sił równoległych leżących w jednej płaszczyźnie, np.xy,i równoległych do osi y sumy rzutów wszystkich sił na oś x będą tożsamościoworówne zeru.Zatem trzy równania równowagi płaskiego dowolnego układu sił(3.51) redukują się do równania rzutów sił na oś y i równania momentówwzględem dowolnego punktu O:nnP = 0,M∑∑.(3.57)kykOk=1k=1Równania równowagi w postaci jednego równania rzutów i jednego równaniamomentów (3.57) można zastąpić dwoma równaniami momentów względemdwóch punktów A i B nie leżących na prostej równoległej do linii działania sił:nnM= 0,M= 0∑∑.(3.58)kAkBk=1k=14.1.Środek ciężkości i środek masyRozpatrzmyukład n punktów materialnych o masach mk (k = 1, 2,., n), naktóre działają siły ciężkości Gk (rys.4.1).Niech położenie tych punktów względempunktu odniesienia O określają wektory wodzące rk, jak na rysunku.Wiadomo, żesiły ciężkości poszczególnych punktów są równe iloczynowi masy przezprzyśpieszenie ziemskie, Gk = mk g, i są skierowane do środka kuli ziemskiej.Ponieważ wymiary układów materialnych rozpatrywanych w zastosowaniachtechnicznych są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem kuli ziemskiej, siłyciężkości możemy uważać za siły równoległe.Punkt C położenia wypadkowej siłciężkości G nazywamy środkiem ciężkości układu lub ciała materialnego.Punktten nie zależy od obrotu układu lub ciała materialnego.Skorosiły ciężkości są siłami równoległymi, to do określenia położenia środkaciężkości C możemy wykorzystać wzory wyprowadzone w p.3.9.1 na środekukładu sił równoległych.Wektor wodzący rC środka ciężkości C układu punktówmaterialnych zgodnie ze wzorem (3.54) będzie wyrażał związek:nr G∑ k krk= =1.(4.1)CGWspółrzędne środka ciężkości C w prostokątnym układzie współrzędnychotrzymamy ze wzorów (3.55):nnnx Gy Gz G∑∑∑kkkkkkxk= =1yk= =1,, zk= =1.(4.2)CGCGCGWe wzorach (4.1) i (4.2) G jest ciężarem całkowitym układu materialnego:nG =G∑.kk=1W przypadku ciała materialnego o ciągłym rozmieszczeniu masy, jakim jestbryła, dzielimy je myślowo na n małych elementów o masach ∆mk i ciężarach ∆Gk(rys.4.2).Po podstawieniu do wzorów (4.1) i (4.2) ∆Gk zamiast Gk otrzymamywzory na przybliżone położenie środka ciężkości bryły:nrG∑ ∆kkrk= =1, (4.3)CGnnnx ∆Gy ∆Gz ∆G∑∑∑kkkkkkxk= =1yk= =1,, zk= =1.(4.4)CGCGCGzmmk2zmr1rk2GkGC2∆mkrrr1CkGrC1Cmnrn∆GOkGnGyOGyxxRys.4.2.Wyznaczanie środkaRys.4.1.Siły ciężkości jako siły równoległeciężkości dowolnej bryłyDokładny wzór na promień wodzący rC środka ciężkości C otrzymamy, biorącgranicę sumy występującej we wzorze (4.3) przy liczbie elementów n dążącej donieskończoności i ich wymiarach dążących do zera [ Pobierz całość w formacie PDF ]